Можно с уверенностью сказать, что практически каждый человек мечтает о . Все хотят,чтобы его дети, внуки и он сам не зависели от денег и жили той жизни, которой хочется. Во всём этом могут помочь инвестиции и понимание их сущности.

Одной из главных составляющих инвестиционной деятельности являются проценты, а именно сложные проценты. Что же это такое и какую роль они выполняют?

Сложный процент — экспоненциальный рост прибыли, который формируется за счёт того, что проценты от прибыли прибавляются к основной сумме и участвуют в дальнейшем накопление и распределение.

Для расчёта подобных вещей используются специальные формулы, посредством которых можно заранее рассчитать прибыль инвестора.

Однако не все сразу способны понять суть сложного процента, поэтому давайте разберём это на обычном примере. Итак, представьте, что вы в банке держите 1 000 000 рублей со ставкой в 10 % в год. К концу года у вас уже будет 1 100 000 рублей на счёте. Получается, что ваша прибыль составила 100 000 рублей.

Если вы данную прибыль не снимите, а оставите на счету, то на следующий год 10 % вам буду начисляться не от 1 000 000 рублей, а от 1 100 000 рублей. А это уже прибыль в 110 000 рублей. Таким образом, ваш доход в первом году, составляющая 100 000 рублей, вам принесла ещё 10 000 рублей во втором году. Ещё через год, проценты уже буду начисляться от суммы в 1 110 000 рублей и т.п.

Вот так и работает подобная капитализация. Если обобщить, то вы уже поняли, что к концу каждого отчётного периода (год, квартал или месяц) прибавляется к вкладу и проценты уже генерируются от итоговой суммы (базисной).

• S — изначальная сумма вместе с процентами т.е. общая сумма вклада
• P — первоначальная сумма вклада
• I — годовая процентная ставка
• n — количество пройденных периодов капитализации за весь срок

Применим данную формулу на примере:

Вы понесли в банк 100 000 руб в банк под 10% годовых на 7 лет. Рассчитайте какая сумма у вас будет на счету через 7 лет? Нам в этом поможет формула выше:

S = 100 000 * (1 + 10/100)^7 = 194 871 руб.

Размер вашей прибыли будет зависеть от многих факторов, например от первоначальной суммы ваших вкладов. Либо от процентной ставки относительно, которых и будет происходить капитализация.

Помните, что сложный процент будет работать на вас, только в случае, если вы не будете снимать прибыль каждый год или квартал.

Сложные проценты - это самая могущественная сила во вселенной.

© Альберт Эйнштейн

Формула расчёта сложного процента для разных периодов

Помимо стандартного вида капитализации, когда проценты начисляются раз в год, существует и более выгодный вид капитализации. Речь идёт о ежемесячных начислениях процентов и с последующим ростом общей прибыли.

Единственным отличием от основной формулы является, тот факт, что n это уже не количество лет, а количество месяцев. Также показатель процентов стоит разделить на 12 месяцев, чтобы получить точные месячные данные.

Если бы данная формула использовалась для полугодового расчёта, то процентный показатель стоило бы разделить на 2 (так как 2 полугодия в году), а n обозначало бы количество полугодий. Подобный принцип будет и для расчётов за квартал.

Сложные проценты способны вас обеспечить прибылью гораздо лучше чем простые проценты. Однако стоит заметить, что прибыль здесь будет формироваться на . Чтобы вы наглядно поняли разницу между этими процентами и оценили выгоду для себя, рассмотрим два небольших сравнительных примера.

Представьте, что вы инвестировали 1 000 000 рублей на 12 лет под 10 % годовых. Вы не осуществляете дополнительных взносов к вкладу, а прибыль снимаете.

Во втором случае условия остаются таким же, только с разницей, что вы прибыль не снимаете и она суммируется к основному вкладу и уже прибыль рассчитывается от новой суммы с каждым годом. Для наглядности сделаем расчёты в цифрах.

Как видите, отличие значительное. Важным моментом здесь будет являться, тот факт, что чем чаще буду начисляться проценты, чем выше ваша ожидаемая доходность. При одинаковой процентной ставке начисление по сложным процентам, намного выгоднее, чем по простым.

Часто бывает так, что перед человеком стоит нелёгкая задача, с более простым начислением процентов, но с большой процентной ставкой, либо выбрать вклад с меньшей процентной ставкой, но с возможностью капитализацией этих самых процентов.

Перед выбором внимательно изучите договор, который предоставляется банком. Также оцените ваши цели и задачи, чтобы лучше понять, что вам больше подходит.

Не стоит забывать, что проценты способны приносить выгоду лишь до определённого периода времени либо после определённого периода. Немаловажное значение играет время.

Ведь капитализация процентов способна принести ощутимую выгоду и пользу не всем, а лишь тем, кто собирается осуществить вложения на более длительный срок, как правило, от 5 лет и более. Вся прелесть капитализации процентов в том, что чем дольше лежит вклад, тем на большую доходность можно претендовать.

Также, банком в договорах могут указываться разные условия, например, если вкладчик ранее чем через 10 лет снимет прибыль со своего вклада, то это может привести к значительному понижению его дохода, а может и к полной утрате дохода в будущем.

Понимание, того как работают сложные проценты вам поможет больше заработать на своих . Практически любой банкир вам скажет, что вклад по более низкой ставке но с возможностью капитализации, более выгоден, чем вклад с более высокой ставкой, но без возможности сложного начисления процентов.

Лучше я буду получать 1 % денег в результате усилий 100 человек, чем 100 % в результате своих собственных усилий.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием сложных процентов. Расчеты по правилу сложных процентов называют начислением процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – капитализацией.

Из-за постоянного роста базы вследствие капитализации процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением.

При сроке операции менее года наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при сроке более года – наоборот (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 - Рост денежных средств при начислении простых и сложных процентов

Расчет наращенной суммы денег следует вести по формулам сложных процентов при:

Исчислении возросшей на проценты суммы задолженности, если проценты начисляются и присоединяются к основной сумме долга;

Неоднократном учете ценных бумаг (учете и переучете на одинаковых условиях);

Определении арендной платы при лизинговом обслуживании;

Оценке бескупонных облигаций;

Определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции;

Дисконтировании денежных сумм за ряд периодов времени в проектном анализе.

Наращение по сложным процентампредставляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель (1 + i). В этом случае формула наращения для сложных процентов будет выглядеть

где i -годовая ставка сложных процентов;

Множитель (коэффициент) наращения, его значения для ставки за период i и числа процентных периодов n табулированы (прил. 4).

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид:

S = Р (1 + i 1) n 1 (1 + i 2) n 2 ...(1 + i k ) nk ,

где i 1 , i 2 ,...,i k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды п 1 , п 2 ,... , n k соответственно;

(1 + i 1) n 1 (1 + i 2) n 2 ...(1 + i k ) nk - множитель (коэффициент) наращения.

В ряде практических задач начальная и конечная суммы заданы контрактом, требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины можно найти из формул наращения:

n = log(S /P )/log(1+i ),

i = (S /P ) 1/ n – 1.

В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравнивают множитель наращения величине N, в результате получают:

а) для простых процентов (1 + ni npo ст.) = N , тогда

б) для сложных процентов (1 + i сложн.) n = N , тогда

Для случая N= 2 эти формулы называются формулами удвоенияи принимают следующий вид:

а) для простых процентов

б) для сложных процентов

В практических расчетах для быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения сложных процентов иногда пользуются приближенным расчетом при удвоении инвестиционной суммы, известным как «правило 72». Правило заключается в следующем: если i -процентная ставка, выраженная в процентах, то 72/i представляет число периодов, за которое приблизительно исходная сумма удвоится. Это правило дает хорошие результаты для небольших значений i .

Следует отметить, что в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в десятичных дробях, а при расчете по «правилу 72» - принимается в процентах.

Существуют и другие правила, с помощью которых можно быстро рассчитать ориентировочный срок удвоения первоначального капитала. В литературе можно встретить «правило 70» (п ≈ 0,7/i ), «правило 71» (п ≈ 0,71/i ), «правило 69» (п ≈ 0,69/i ).

При дробном числе лет проценты начисляются разными способами.

1. По формуле сложных процентов

2. На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые

где п = а + b ;

а -целое число лет;

b -дробная часть года.

3. В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

Если проценты начисляются и присоединяются не по истечении года, а чаще (m раз в год), то имеет место m -кратное начисление процентов. Наращение идет быстрее, чем при разовой капитализации. В такой ситуации в условиях финансовой сделки оговаривают не ставку за период, а годовую ставку (j ), на основе которой исчисляют процентную ставку за период (j/m ). При этом годовую базовую ставку (j ) называют номинальной в отличие от эффективной ставки (i ), которая характеризует доходность операции с учетом внутригодовой капитализации. Величина эффективной ставки обеспечивает такой же результат при начислении процентов один раз в год по ней, что и m -кратное наращение в год по ставке j/m . В результате получают

(1 + i ) n = (1 + j/m ) mn ,

где i – эффективная ставка процентов;

j – номинальная ставка процентов.

Выражения для определения эффективной ставки через номинальную и наоборот имеют вид

i = (1 + j/m ) m – 1,

.

Наращенная сумма при внутригодовой капитализации m раз определяется по формуле

Если срок финансовой операции определен не в годах, формула имеет вид:

Для определения срока операции и номинальной процентной ставки используют формулы:

n = log(S /P )/m ·log(1+j /m ),

j = m [(S /P ) 1/ mn – 1].

При разработке инвестиционных решений в проектном анализе принимают иногда, что m →∞, т.е. осуществляется непрерывное начисление процентов по истечении малых промежутков времени. Ставку за этот малый промежуток времени называют силой роста, а наращенную стоимость определяют:

где е – математическая постоянная;

δ – сила роста, представляющая собой номинальную ставку процентов при m →∞, ее значения табулированы (прил. 5).

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

Срок финансовой операции и сила роста определяются:

n = ln(S /P )/δ ,

δ = ln(S /P )/n -1 .

Как и в случае простых процентов существует два вида дисконтирования по сложным процентам:

1. Математическое дисконтирование. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам:

Выражение называют дисконтным множителем, его значения для ставки за период i и числа процентных периодов n табулированы (прил. 7).

Если проценты начисляются т раз в году, то

Разность D = S - Р называют дисконтом.

2. Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

P = S (1 – d ) n .

Дисконт в этом случае определяется аналогично: D = S – Р .

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

В тех случаях, когда дисконтирование применяют т раз в году, используют номинальную учетную ставку f . Тогда в каждом периоде, равном 1/т части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке т раз в году описывается формулой

P = S (1 - f/m ) тп .

Дисконтирование не один, а т раз в году быстрее снижает величину дисконта.

Под эффективной учетной ставкойпонимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году т раз.

В соответствии с определением эффективной учетной ставки находят ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей:

(1 - f/m ) mn = (1 - d ) m ,

из которого следует, что

d = 1 – (1 - f/m ) m .

Эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.

Наращение является обратной задачей для учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить из формул дисконтирования:

S = Р /(1 - d ) n ,

S = P /(1 - f/m ) mn .

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке срок операции и ставка процента имеют вид:

n = log(S /P )/log(l – d ),

d = 1 - (Р /S ) 1/ n .

При дисконтировании по номинальной учетной ставке т раз в году получают

n = log(S /P )/m ·log(l – f/m ),

f = m .

Инфляция представляет собой изменение баланса между денежной мамой и объемом созданных в стране благ и услуг в сторону увеличения денег. Денег на одну единицу товара приходится больше. Следовательно, происходит рост цен. Соответственно не денежную единицу приходится меньше товаров, т.е. деньги обесцениваются.

Каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. Поэтому инфляционное влияние всегда следует оценивать по сложному проценту.

Формулы для расчета наращенной суммы денег с учетом влияния инфляции корректируются следующим образом:

Для простых процентов

где i – ставка доходности при инвестировании (брутто-ставка);

Темп инфляции (темп прироста индекса потребительских цен).

Для сложных процентов

К уровню инфляции прибавляется единица, так как уровень инфляции является темпом прироста индекса потребительских цен.

Таким образом достигается характеристика процесса наращения в условиях инфляции: ставка доходности является фактором роста денег и находится в числителе, а показатель инфляции является фактором их обесценения и находится в знаменателе в сумме с единицей.

Сегодня все чаще люди задумываются о своем финансовом благополучии и о будущем своих детей и внуков. Каким образом можно обезопасить их от возможных материальных невзгод и придать им финансовую стабильность и уверенность в завтрашнем дне?

Такое возможно лишь при осуществлении долгосрочных вложений, которые позволят в течение некоторого запланированного времени превратить небольшой стартовый капитал в нужную сумму посредством применения сложных процентов.

В современных условиях развития экономики сложный процент считается определяющим фактором, дающим возможность заработать собственный капитал и с легкостью приумножить его. В чем же сложность сложного процента и почему он настолько важен при создании капитала?

Для расчета итоговой суммы применяется особая методика расчета сложного процента , которая подразумевает, что изначальный вклад и начисленная вам прибыль ежегодно складываются, образуя базис для последующего роста прибыли.

Для определения итоговой суммарной прибыли за весь период действия вклада (Σ) используют простую формулу:

Σ=В*(1 + Х/100)Г, где

В – первоначальный вклад,

Г – период оборота капитала, исчисляемый в годах,

Х% – годовая ставка в процентном соотношении.

Подставив конкретные значения в эту формулу, можно рассчитать, что по истечении 5 лет сумма увеличится до 2011,36 долларов, через 10 лет она составит уже 4045,56. Разве это не заманчиво?

Сложный процент: Формула 2

Можно использовать еще один метод начисления и прибавления ставки процента, являющийся наиболее выгодным и удобным для клиента: благодаря учету поквартальных или ежемесячных прибавлений ставки процента, которые в последующем периоде приобретают свойства непосредственно вклада. Такой расчет вклада с применением специальных банковских формул убеждает в том, что целесообразнее руководствоваться им, нежели в первом примере, когда к вкладу прибавляется лишь сумма годовых процентов.

Можно немного усовершенствовать схему расчета месячных выплат, прибавленных к базовой сумме вклада. В этих целях рассчитывают месячную процентную ставку (в случае, если проценты выплачиваются соответственно каждые 30 – 31 календарных дней). Итоговая суммарная прибыль (Σ) рассчитывается по следующей формуле:

Σ=В*(1+Х/100/12)М, где В – это сумма вклада (с суммированием следующих начислений ежемесячной ставки процента),

М – временной отрезок действия вклада в месяцах.

Для чего дополнительно делить процентный показатель на 12? Ответ прост – год включает 12 месяцев, а нам нужно произвести расчет ежемесячной ставки, поскольку в условиях задачи ставка дана годовая. Так, к примеру, если бы возникла необходимость использования такой формулы для расчета поквартальных начислений по вкладу, то следовало бы делить годовой процент на 4, по полугодиям – на 2.

Итак, согласно поставленным условиям, если бы в январе был сделан вклад в 1000 долларов с под 15% годовых, то уже к ноябрю мы бы получили около 1132 долларов.

Используя такую методику, как сложный процент , вы самостоятельно можете определиться с суммой стартового капитала и периодом времени, за который сможете значительно обогатиться. В любом случае, заставьте деньги работать на вас, поскольку от этого зависит исполнение ваших желаний.

P.P.S. Также не забудьте воспользоваться нашим , который поможет вам рассчитать различные варианты начисления банковских процентов, с использованием как сложных, так и простых процентов.